ارشمیدس دانشمند و ریاضیدان یونانی در سال 212 قبل از میلاد در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش به اسکندریه رفت. بیشتر دوران زندگیش را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر دوستی نزدیک داشت. در اینجا سخن از معروفترین استحمامی است که یک انسان در تاریخ بشریت انجام داده است. در داستانها چنین آمده است که بیش از 2000 سال پیش در شهر سیراکوز پایتخت ایالت یونانی سیسیل آن زمان ارشمیدس مکانیک دان و ریاضیدان و مشاور دربار پادشاه یمرون یکی از معروفترین کشفهای خود را در خزینه حمام انجام داد.

کشفی در حمام

روزی که او در حمامی عمومی به داخل خزینه پا نهاد و در آن نشست و حین این کار بالا آمدن آب خزینه را مشاهده کرده ، ناگهان فکری به مغزش خطور کرد. او بلافاصله لنگی را به دور خود پیچید و با این شکل و شمایل به سمت خانه روان شد و مرتب فریاد می‌زد یافتم، یافتم. او چه چیزی را یافته بود؟ پادشاه به او مأموریت داده بود راز جواهر ساز خیانتکار دربار را کشف و او را رسوا کند. شاه هیرون بر کار جواهر ساز شک کرده بود و چنین می‌پنداشت که او بخشی از طلایی را که برای ساختن تاج شاهی به وی داده بود برای خود برداشته و باقی آن را با فلز نقره که بسیار ارزانتر بود مخلوط کرده و تاج را ساخته است.

هر چند ارشمیدس می‌دانست که فلزات گوناگون وزن مخصوص متفاوت دارند، ولی او تا آن لحظه اینطور فکر می‌کرد که مجبور است تاج شاهی را ذوب کند، آنرا به صورت شمش طلا قالب ریزی کند تا بتواند وزن آن را با شمش طلای نابی به همان اندازه مقایسه کند. اما در این روش تاج شاهی از بین می‌رفت، پس او مجبور بود راه دیگری برای این کار بیابد. در آن روز که در خزینه حمام نشسته بود دید که آب خزینه بالاتر آمد و بلافاصله تشخیص داد که بدن او میزان معینی از آب را در خزینه حمام پس زده و جابجا کرده است.

آزمایش و اثبات ناخالصی تاج شاهی (کشفی از رازهای طبیعت)

او با عجله و سراسیمه به خانه بازگشت و شروع به آزمایش عملی این یافته کرد. او چنین اندیشید که اجسام هم اندازه ، مقار آب یکسانی را جابجا می‌کنند، ولی اگر از نظر وزنی به موضوع نگاه کنیم یک شمش نیم کیلویی طلا کوچکتر از یک شمش نقره به همان وزن است (طلا تقریبا دو برابر نقره وزن دارد)، بنابراین باید مقدار کمتری آب را جابجا کند. این فرضیه ارشمیدس بود و آزمایشهای او این فرضیه را اثبات کرد. او برای این کار نیاز به یک ظرف آب و سه وزنه با وزنهای مساوی داشت که این سه وزنه عبارت بودند از تاج شاهی ، هم وزن آن طلای ناب و دوباره هم وزن آن نقره ناب.
او در آزمایش خود تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم وزنش پس می‌راند، ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم وزن آن را جابجا می‌کند. به این ترتیب ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده، بلکه جواهر ساز متقلب و خیانتکار آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته است و به این ترتیب ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد. آن هم اینکه می‌توان وزن اجسام سخت را با کمک مقدار آبی که جابجا می‌کنند اندازه گیری کرد. این قانون (وزن مخصوص) را که امروزه به آن چگالی می‌گویند اصل ارشمیدس می‌نامند. حتی امروز هم هنوز پس از 23 قرن بسیاری از دانشمندان در محاسبات خود متکی به این اصل هستند.

فعالیت در حوزه‌های دیگر

ارشمیدس در رشته ریاضیات از ظرفیتهای هوشی بسیار والا و چشمگیری برخوردار بود. او منجنیقهای شگفت آوری برای دفاع از سرزمینهای خود اختراع کرد که بسیار سودمند افتاد. او توانست سطح و حجم جسمهایی مانند کره ، استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد. همچنین بدست آوردن عدد نیز از کارهای گرانقدر وی است. او کتابهایی درباره خصوصیات و روشهای اندازه گیری اشکال و احجام هندسی از قبیل مخروط ، منحنی حلزونی و خط مارپیچ ، سهمی ، سطح کره «ماده غذایی» و استوانه نوشته ، علاوه بر آن او قوانینی درباره سطح شیب دار، پیچ ، اهرم و مرکز ثقل کشف کرد.

یکی از روشهای نوین ارشمیدس در ریاضیات بدست آوردن عدد بود، وی برای محاسبه عدد پی ، یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن روشی بدست داد و ثابت کرد که عدد محصور مابین 7/1 3 و 71/10 3 است، گذشته از آن روشهای مختلف برای تعیین جذر تقریبی اعداد به دست داد و از مطالعه آنها معلوم می‌شود که وی قبل از ریاضیدانان هندی با کسرهای متصل یا مداوم متناوب آشنایی داشته است. در حساب روش غیر عملی و چند عملی یونانیان را که برای نمایش اعداد از علائم متفاوت استفاده می‌کردند، به کنار گذاشت و پیش خود دستگاه شمارشی اختراع کرد که به کمک آن ممکن بود هر عدد بزرگی را بنویسیم و بخوانیم.

دانش تعادل مایعات بوسیله ارشمیدس کشف شد و وی توانست قوانین آنرا برای تعیین وضع تعادل اجسام غوطه ور بکار برد. همچنین برای اولین بار برخی از اصول مکانیک را به وضوح و دقت بیان کرد و قوانین اهرم را کشف کرد.

ارشمیدس و دیگر دانشمندان دوران خود

ارشمیدس در مورد خودش گفته‌ای دارد که با وجود گذشت قرنها جاودان مانده و آن این است: «نقطه اتکایی به من بدهید، من زمین را از جا بلند خواهم کرد». عین همین اظهار به صورت دیگری در متون ادبی زبان یونانی از قول ارشمیدس نقل شده است، اما مفهوم در هر دو صورت یکی است. ارشمیدس هم چون عقاب گوشه گیر و منزوی بود، در جوانی به مصر مسافرت کرد و مدتی در شهر اسکندریه به تحصیل پرداخت و در این شهر دو دوست قدیمی یافت، یکی کونون (این شخص ریاضیدان قابلی بود که ارشمیدس چه از لحاظ فکری و چه از نظر شخصی برای وی احترام بسیار داشت) و دیگری اراتوستن که گر چه ریاضیدان لایقی بود، اما مردی سطحی به شمار می‌رفت که برای خویش احترام خارق العاده‌ای قائل بود.
ارشمیدس با کونون ارتباط و مکاتبه دائمی داشت و قسمت مهم و زیبایی از آثار خویش را در این نامه‌ها با او در میان گذاشت و بعدها که کونون در گذشت، ارشمیدس با دوستی که از شارگردان کونون بود مکاتبه می‌کرد. در سال 1906 ج.ل. هایبرگ مورخ دانشمند و متخصص تاریخ ریاضیات یونانی در شهر قسطنطنیه موفق به کشف مدرک با ارزشی شد.
این مدرک کتابی است به نام قضایای مکانیک و روش آنها که ارشمیدس برای دوست خود اراتوستن فرستاده بود. موضوع این کتاب مقایسه حجم یا سطح نامعلوم شکلی با احجام و سطوح معلوم اشکال دیگر است که بوسیله آن ارشمیدس موفق به تعیین نتیجه مطلوب می‌شد. این روش یکی از عناوین افتخار ارشمیدس است که ما را مجاز می‌دارد که وی را به مفهوم صاحب فکر جدید و امروزی بدانیم، زیرا وی همه چیز و هر چیزی را که استفاده از آن به نحوی ممکن بود بکار می‌برد تا بتواند به مسائلی که ذهن او را مشغول می‌داشتند حمله ور گردد.
دومین نکته‌ای که ما را مجاز می‌دارد که عنوان متجدد به ارشمیدس بدهیم روشهای محاسبه اوست. وی دو هزار سال قبل از اسحاق نیوتن و لایب نیتس موفق به اختراع حساب انتگرال شد و حتی در حل یکی از مسائل خویش نکته‌ای را بکار برد که می‌توان او را از پیش قدمان فکر ایجاد حساب دیفرانسیل دانست.

وداع با دنیا

زندگی ارشمیدس با آرامش کامل می‌گذشت، همچون زندگی هر ریاضیدان دیگری که تأمین کامل داشته باشد و بتواند همه ممکنات هوش و نبوغ خود را به مرحله اجرا در آورد. زمانی که رومیان در سال 212 قبل از میلاد شهر سیراکوز را به تصرف خود در آوردند، سردار رومی مارسلوس دستور داد که هیچ یک از سپاهیانش حق اذیت و آزار و توهین و ضرب و جرح این دانشمند و متفکر مشهور و بزرگ را ندارند، با این وجود ارشمیدس قربانی غلبه رومیان بر شهر سیراکوز شد. او بوسیله یک سرباز مست رومی به قتل رسید و این در حالی بود که در میدان بازار شهر در حال اندیشیدن به یک مسئله ریاضی بود، می‌گویند آخرین کلمات او این بود: دایره‌های مرا خراب نکن. به این ترتیب بود که زندگی ارشمیدس بزرگترین دانشمند تمام دورانها خاتمه پذیرفت، این ریاضیدان بی دفاع 75 ساله در 278 قبل از میلاد به جهان دیگر رفت.

 

به شکل زیر نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.

اصل لانه کبوتر که به نام های «اصل جعبه کفش» یا «اصل کشویی دیر کله» مشهور است، اغلب برای پاسخ دادن به سوالات زیر مفید است:
«آیا اشیایی وجود دارند که درخاصیت مشخصی صدق کنند؟»
اگر اصل لانه کبوتر به طور موفقیت آمیزی به کار رود، تنها وجود چنین اشیایی را ثابت می کند و چیزی درباره روش یافتن اشیا و یا مشخص کردن تعداد آنها بیان نمی کند.

n کبوتر در k لانه قرار می گیرند. اگر n>k ،آنگاه تعدادی از لانه ها بیش از یک کبوتر خواهند داشت.

دلیل درستی این اصل، اغلب به برهان خلف ثابت می شود. زیرا، اگر اصل برقرار نباشد، آنگاه، هر لانه حداکثر یک کبوتر دارد و در این حالت، حداکثر کبوتر وجود خواهد داشت که با فرض و وجود کبوتر متناقص است. به دلیل بدیهی بودن استدلال به عنوان اصل پذیرفته می شود. دقت کنید که این اصل، اطلاعاتی درباره آن لانه هایی که حداقل دو کبوتر دارند ارائه نمی کند و تنها وجود چنین لانه هایی را تایید می کند.
در استفاده از این اصل در حل مسایل، باید تصمیم گرفت که نقش کبوتر ها و لانه ها چگونه تعبیر شوند.

ده نفر به اتاقی وارد شده اند که نام کوچک آنها احمد، رضا و مهدی است و نام خانوادگی آنها محمدیان، رسولی و رضایی است. نشان دهید حداقل دو نفر از این ده نفر، نام و نام خانوادگی یکسانی دارند.
حل: تنها 9 امکان برای تولید اسامی متمایز وجود دارد. اگر افراد را به عنوان کبوتر اسامی را به منزله لانه کبوتر فرض کنیم، آنگاه بنا بر اصل لانه کبوتر، بعضی از اسامی (لانه ها) به حداقل دو نقر (کبوتر ها) نسبت داده می شوند.
حال مثال دیگری ذکر میکنیم:
15 نفر دریک میهمانی شرکت کرده اند. طبق این اصل حداقل دو نفر پیدا می شوند که در یک ماه به دنیا آمده اند.

آمار رشته وسیعی از ریاضی است که راههای جمع آوری، خلاصه سازی و نتیجه گیری از داده ها را مطالعه می کند. این علم برای طیف وسیعی از علوم دانشگاهی از فیزیک و علوم اجتماعی گرفته تا انسان شناسی و همچنین تجارت، حکومت داری و صنعت کاربرد دارد.
هنگامی که داده ها جمع آوری شدند چه از طریق یک شیوه نمونه گیری خاص یا به وسیله ثبت پاسخ ها در قبال رفتارها در یک مجموعه آزمایشی ( طرح آزمایشcf  ) یا به وسیله مشاهده مکرر یک فرایند در طی زمان  ( سری های زمانی ) خلاصه های گرافیکی یا عددی را می توان با استفاده از آمار توصیفی به دست آورد.
الگوهای موجه در داده ها سازمان بندی می شوند  تا استنباط در مورد جمعیت های بزرگتر به دست آید که این کار با استفاده از آمار استنباطی صورت می گیرد و  تصادفی بودن و عدم حتمیت در مشاهدات را شناسایی می کند. این استنباط ها ممکن است به شکل جوابهای بله یا خیر به سؤالات باشد ( آزمون فرض )، مشخصه های عددی را برآورد کند ( تخمین ) ، پیش گویی مشاهدات آتی باشد، توصیف پیوند ها باشد ( همبستگی ) ویا مدل سازی روابط باشد ( رگرسیون ).
 شبکه توصیف شده در بالا گاهی اوقات به عنوان آمار کاربردی اطلاق می شود. در مقابل، آمار ریاضی ( یا ساده تر نظریه آماری ) زیر رشته ای از ریاضی کاربردی است که از تحلیل و نظریه احتمال برای به کارگیری آمار برروی یک پایه نظری محکم استفاده می کند.

 

? احتمال
 کلمه احتمال از کلمه لاتین probare  ( به معنی اثبات یا آزمایش کردن ) منشأ می گیرد. در زبان محاوره، احتمال یکی از چندین لغتی است که برای دانسته یا پیشامدهای غیر حتمی به کار میرود و کم و بیش با لغاتی مثل مشابه، با ریسک، خطرناک، نامطمئن، مشکوک و  بسته به متن قابل معاوضه می باشد. شانس، بخت و شرط بندی از لغات دیگری هستند که نشان دهنده برداشت های مشابهی هستند. همانگونه که نظریه مکانیک تعاریف دقیقی از عبارات متداولی مثل کار و نیرو دارد، نظریه احتمال نیز تلاش دارد تا برداشت های احتمال را کمیت سازی کند.

 

? روش های آماری

 

?) مطالعات تجربی و مشاهداتی
ـ هدف کلی برای یک پروژه تحقیقی آماری، بررسی حوادث اتفاقی بوده و به ویژه نتیجه گیری روی تأثیر تغییرات در مقادیر شاخص ها یا متغیر های مستقل روی یک پاسخ یا متغیر وابسته است. دو شیوه اصلی از مطالعات آماری تصادفی وجود دارد : مطالعات تجربی و مطالعات مشاهداتی . در هر دو نوع از این مطالعات، اثر تغییرات در یک یا چند متغیر مستقل روی رفتار متغیر های وابسته مشاهده می شود. اختلاف بین این دو شیوه درچگونگی مطالعه ای است که عملاً هدایت می شود.
ـ  یک مطالعه تجربی در بردارنده روش های اندازه گیری سیستم تحت مطالعه است که سیستم را تغییر می دهد و سپس با استفاده از روش مشابه اندازه گیری های اضافی انجام می دهد تا مشخص سازد که آیا تغییرات انجام شده، مقادیر شاخص ها را تغییر می دهد یا خیر. در مقابل یک مطالعه مشاهداتی، مداخلات تجربی را در بر نمی گیرد. در عوض داده ها جمع آوری می شوند و روابط بین پیش بینی ها و پاسخ بررسی می شوند.
ـ  یک نمونه از مطالعه تجربی، مطالعات Hawthorne مشهور است که تلاش کرد تا تغییرات در محیط کار را در کمپانی الکتریک غربی Howthorne  بیازماید. محققان علاقه مند بودند که آیا افزایش نور می تواند کارایی را در کارگران خط تولید افزایش دهد. محققان ابتدا کارایی را در کارخانه اندازه گیری کردند و سپس میزان نور را در یک قسمت از کارخانه  تغییر دادند تا مشاهده کنند که آیا تغییر در نور می تواند کارایی را تغییر دهد. به واسطه خطا در اقدامات تجربی، به ویژه فقدان یک گروه کنترل، محققان در حالی که قادر نبودند آنچه را که طراحی کرده بودند، انجام دهند توانستند که محیط را با شیوه Hawthorne  آماده سازند.
ـ  یک نمونه از مطالعه مشاهداتی، مطالعه ایست که رابطه بین سیگار کشیدن و سرطان ریه را بررسی می کند. این نوع از مطالعه به طور اختصاصی از یک آمار گیری ( پیمایش ) استفاده می کند تا مشاهدات مورد علاقه را جمع آوری کند و سپس تجزیه و تحلیل آماری انجام دهد. در این مورد، محققان مشاهدات افراد سیگاری و غیر سیگاری را جمع آوری می کنند و سپس به تعداد موارد سرطان ریه در هر دو گروه توجه می کنند.
 مراحل پایه برای انجام یک تجربه عبارتند از :
ـ  برنامه ریزی تحقیق شامل تعیین منابع اطلاعاتی، انتخاب موضوع تحقیق و ملاحظات اخلاقی برای تحقیق و روش پیشنهادی.
ـ   طراحی آزمون شامل تمرکز روی مدل سیستم و اثر متقابل متغیر های مستقل و وابسته.
ـ  خلاصه سازی از مجموعه مشاهدات برای جامعیت بخشیدن به آنها با حذف جزئیات ( آمار توصیفی ).
ـ   رسیدن به اجماع در مورد آنچه مشاهدات درباره دنیایی که مشاهده می کنیم به ما می گویند ( استنباط آماری ).
ـ  ثبت و ارائه نتایج مطالعه.

 

 

 

?)  سطوح اندازه گیری

 

 

     چهار نوع یا مقیاس اندازه گیری در آمار استفاده می شود. چــهار نوع یا سطح اندازه گیری ( ترتیبی، اسمی، بازه ای و نسبی ) دارای درجات متفاوتی از سودمندی در تحقیقات آماری دارند. اندازه گیری نسبی در حالی که هم یک مقدار صفر و فاصله بین اندازه های متفاوت تعریف می شود بیشترین انعطاف پذیری را در بین روش های آماری دارد که می تواند برای تحلیل داده ها استفاده شود. مقیاس تناوبی با داشتن فواصل معنی دار بین اندازه ها اما بدون داشتن میزان صفر معنی دار ( مثل اندازه گیری IQ  یا اندازه گیری درجه حرارت در مقیاس سلسیوس ) در تحقیقات آماری استفاده می شود.

 

?) تکنیک های آماری
     بعضی از آزمون ها و روش های آماری برای مشاهدات تحقیقی آماری شناخته شده عبارتند از :
?  آزمون تی استیودنت
?  آزمون توان دوم کای ( خی دو )
?  آنالیز واریانس ( ANOVA)
?  آزمون Mann-Whitney U
?  تحلیل رگرسیون
?  همبستگی
?  آزمون کمترین تفاوت معنی دار ( LSD ) فیشر
?  ضریب همبستگی حاصل ضرب گشتاوری پیرسون
?  ضریب همبستگی رتبه ای اسپیرمن

نظریه عمومی احتمال به دو اصل وابسته تقسیم می شود :

 

?  احتمال کتّره ای : که نشان دهنده احتمال پیشامدهای آینده است که به وسیله بعضی از پدیده های فیزیکی تصادفی هدایت می شود. این اصل را می توان به پدیده های فیزیکی که با اطلاعات کافی اصولاً قابل پیش بینی اند و پدیده هایی که اساساً قابل پیش بینی نیستند تقسیم بندی کرد.  نمونه هایی از نوع اول شامل پرتاب تاس یا بازی رولت در قمار است و یک مثال از نوع دوم از بین رفتن ماده رادیو اکتیویته است.

 

?  احتمال شناختیک : که نشان دهنده عدم قاطعیت ما در مورد گزاره ای است وقتی که فرد آگاهی کامل از شرایط اتفاقی ندارد. چنین گزاره هایی ممکن است در مورد پیشامدهای گذشته یا آینده باشد اما نیاز به آن نیست. بعضی مثال ها از احتمال شناختیک آنهایی هستند که در آن ها یک احتمال به گزاره ای داده می شود که در آن یک قانون پیشنهادی فیزیک به وقوع پیوسته است و تعیین اینکه چقدر احتمال است که یک مظنون بر اساس شواهد موجود مرتکب جنایت شده باشد.
 یک سؤال کلی وجود دارد که آیا احتمال کتره ای به واسطه عدم توانایی ما در پیش بینی دقیق نیروهایی که ممکن است وقوع مرگ را متأثر سازند به احتمال شناختیک تبدیل شود یا اینکه چنین عدم اطمینانی در ماهیت خود واقعیت وجود دارد به ویژه در پدیده های کوانتومی که توسط اصل عدم حتمیت هایزنبرگ بیان شده است.هرچند قوانین ریاضی مشابهی صرفنظر از تفسیر انتخاب شده اعمال می شوند، گزینه انتخابی از نظر احتمال مورد استفاده دارای معانی مهمی است که برای مدل سازی دنیای واقعی به کار می رود.

 

 

? فرموله سازی احتمال

 مانند سایر نظریه ها، نظریه احتمال نمادی از اصول احتمال در عبارات رسمی - عباراتی که جدا از معنیشان کاربرد داشته باشند – است. این عبارات رسمی به واسطه قوانین ریاضی و منطق متأثر می شوند و هر نتیجه ای از آن بر اساس دامنه مسئله تفسیر و برداشت می شود.
  حداقل دو تلاش موفق برای فرموله کردن احتمال انجام شده است که به نام فرمول بندی کلموگروف و کاکس نامیده می شوند. در فرمول بندی کلموگروف، مجموعه ها به صورت پیشامدها و احتمال خود به عنوان معیاری روی یک سری از مجموعه ها تفسیر می شود. در فرمول بندی کاکس، احتمال به عنوان یک مقدمه اولیه قلمداد می شود ( به این معنی که بعداً آنالیز نمی شود ) و تأکید بر روی ساخت یک رابطه سازگار از مقادیر احتمال برای گزاره ها می باشد.
در هر دو مورد، قوانین احتمال مشابه هستند به جز در مورد جزئیات عملی :
 ? احتمال عددی بین 0 و 1 می باشد.
?  مجموع احتمال یک پیشامد یا گزاره و مکمل آن برابر 1 است؛ و
? احتمال مشترک دو پیشامد یا گزاره برابر با حاصل ضرب احتمال یکی از آن ها و احتمال دومی است به شرطی که اولی رخ دهد.

? نمایش و تفسیر مقادیر احتمال

 

      احتمال یک پیشامد عموماً به صورت یک عدد حقیقی بین 0 و 1 نمایش داده می شود. یک پیشامد غیر محتمل دارای یک احتمال دقیقاً 0 و یک پیشامد حتمی دارای یک احتمال 1 است، اما عکس آن همیشه صادق نیست؛ پیشامدهای با احتمال 0 همیشه غیر ممکن نیستند و همچنین پیشامدهای با احتمال 1 همیشه واقعیت نمی پذیرند.
      اغلب احتمالاتی که عملاً رخ می دهند اعدادی بین 0 و 1 هستند که نشان دهنده موقعیت پیشامد روی پیوستگی بین غیر ممکن و حتمیت است. هر چه احتمال پیشامد به 1 نزدیکتر باشد، احتمال وقوع آن بیشتر است.
     مثلاً  اگر احتمال وقوع دو پیشامد متقابلاً ناسازگار یکسان تصور شود مثل رو یا پشت در پرتاب سکه، ما می توانیم احتمال هر پیشامد را به صورت 1 از 2 یا %50 یا ½ نمایش دهیم.
    احتمالات مشابهاً به صورت بخت ها هم نمایش داده می شوند که نسبت احتمال یک پیشامد به احتمال سایر پیشامدهاست. بخت رو شدن در پرتاب سکه (1/2)/(1 - 1/2) است که مساوی با 1/1 است که به صورت بخت 1 به 1 نمایش داده می شود و اغلب به صورت 1:1 نوشته می شود.
     بخت های a:b  برای یک پیشامد معادل با احتمال a/(a+b) است. مثلاً بخت 1:1 معادل با احتمال ½ است و نمایش 3:2 معادل با احتمال 3/5 است.
       این سؤال عملاً باقی می ماند که از احتمال چه انتظاری می توان داشت و چگونه از اعداد و ارقام می توان استفاده کرد. این سؤال همان تفاسیر و برداشت های از احتمال است. افرادی هستند که مدعیند احتمال را می توان بر هر نوع از گزاره های منطقی غیر حتمی به کار برد که همان استنباط بیزی است. در مقابل، افرادی هستند که با این ایده توافق دارند که احتمال برای پیشامدهای تصادفی همانند برآمد بعضی آزمایش های تصادفی خاص کاربرد دارد؛ به عنوان مثال نمونه گیری از یک جمعیت که این تفسیر فراوانی گراست. چندین تفسیر دیگر نیز وجود دارد که فرم اصلاح شده ای از یکی از این دو تفسیر هستند و در حال حاضر از مقبولیت کمتری برخوردار هستند.

 

? توزیع ها

     توزیع احتمال، تابعی است که احتمال را به پیشامدها یا گزاره ها تخصیص می دهد. برای هر مجموعه از پیشامدها یا گزاره ها راه های مختلفی برای تخصیص احتمالات وجود دارد به طوری که شانس یک توزیع یا دیگری معادل با داشتن تصورات متفاوت درباره پیشامدها یا گزاره های مورد سؤال می باشد.
راه های گوناگون معادلی برای نمایش توزیع احتمال وجود دارد. شاید متداولترین آن ها تابع چگالی احتمال باشد؛ به این معنی که احتمال پیشامد یا گزاره به وسیله انتگرال تابع چگالی به دست می آید. تابع توزیع را می توان همچنین مستقیماً نمایش داد. از یک بعد، تابع توزیع، تابع توزیع تجمعی نامیده می شود. توزیع های احتمال را می توان از طریق گشتاورها یا تابع مشخصه یا به روش های دیگر نیز نمایش داد.
      یک توزیع، توزیع گسسته نامیده می شود اگر آن روی یک مجموعه گسسته شمارش پذیر مثل زیر مجموعه ای از اعداد صحیح تعریف شود. یک توزیع، توزیع پیوسته نامیده می شود اگر دارای یک تابع توزیع پیوسته باشد مثل تابع چند جمله ای یا تابع نمایی. اغلب توزیع های با اهمیت کاربردی از نوع گسسته یا پیوسته هستند اما نمونه هایی از توزیع ها هستند که شامل هیچکدام از اینها نمی شوند.
     توزیع های مهم گسسته شامل توزیع گسسته یکنواخت، توزیع پواسون،‍ توزیع دو جمله ای، توزیع دو جمله ای منفی و توزیع ماکسول-بولتزمن می باشند.
     توزیع های مهم پیوسته شامل توزیع نرمال، توزیع گاما، توزیع تی استیودنت و توزیع نمایی هستند.

 

?  احتمال در ریاضیات
     اصول موضوع احتمال، اساس نظریه احتمال ریاضیات را تشکیل می دهند. محاسبه احتمالات را اغلب می توان با استفاده از ترکیبات یا مستقیماً با کاربرد  اصول موضوع تعیین کرد.کاربردهای احتمال حتی بیشتر از آمار است که معمولاً بر روی ایده توزیع های احتمال و قضیه حد مرکزی پایه ریزی شده است.
   برای به دست آوردن یک مفهوم ریاضی از احتمال، پرتاب یک سکه را در نظر بگیرید. بدیهی است که احتمال آن که در هر پرتاب سکه رو بیاید %50 است اما این وضعیت به تنهایی فاقد صلابت ریاضی است؛ به این معنی که ما باید چنین انتظار داشته باشیم که با پرتاب 10 بار سکه 5 رو و 5 پشت به دست آید اما هیچ تضمینی که این رخ دهد وجود ندارد. برای مثال این احتمال است که پشت سر هم 10 بار رو بیاید. پس مفهوم %50 در این متن چیست ؟
     یک راه، استفاده از قانون اعداد بزرگ است. در این مورد، ما تصور می کنیم که می توانیم هر تعداد پرتاب سکه را انجام دهیم و هر پرتاب سکه مستقل است یعنی که برآمد هر پرتاب سکه به وسیله پرتاب قبلی تحت تأثیر قرار ندارد. اما ما N مرتبه پرتاب سکه داشته باشیم  و اگر N? تعداد مرتبه هایی باشد که رو بیاید پس ما می توانیم برای هر N نسبت  N?/N را در نظر بگیریم.
     هر قدر N بزرگ و بزرگ تر شود، ما انتظار داریم که نسبت N?/N به ½ نزدیک و نزدیک تر شود. این به ما اجازه می دهد که احتمال Pr(H)

 

 

 رو های سکه را به صورت حد ( ریاضی ) تعریف کنیم، هنگامی که N به سمت بی نهایت میل میکند : 
 البته در کاربرد عملی، ما نمی توانیم یک سکه را به تعداد بی نهایت پرتاب کنیم بنابراین عملاً این فرمول باید در موقعیت هایی به کار گرفته شود که در آن ها از قبل یک احتمال اولیه ای برای یک برآمد خاص تعیین کرده ایم ( در این مورد فرض ما این است که سکه  سالم است ). قانون اعداد بزرگ به ما می گوید که Pr(H) داده شده و یا به ازای هر عدد کوچـک اختیاری ?، عدد n ای وجود دارد که برای تمام N > nداریم :       

                                                    
  به عبارت دیگر، منظور ما از گفتن « احتمال رو ها ½ است » این است که اگر ما سکه را به اندازه کافی پرتاب کنیم نهایتاً تعداد رو ها نسبت به تعداد کل پرتاب به ½ نزدیک می شود و سپس به هر اندازه که تعداد بیشتری پرتاب انجام دهیم ما به ½ نزدیک تر می شویم.
توجه کنید که یک تعریف کامل، مستلزم نظریه اندازه است که قادر به حذف مواردی است که مقادیر بالاتر از محدوده جواب درست نمی دهند یا حتی با نمایش مواردی که دارای میزان صفر هستند نیز محدود نشده است.
 جنبه اولیه این روش کاربرد احتمال، گاهی در هنگام مواجهه با موقعیت های دنیای واقعی با مشکل روبه رو می شود. برای مثال اگر شما یک سکه را پرتاب کنید و پشت سر هم رو بیاید برای صد مرتبه شما نمی توانید تصمیم بگیرید که آیا این تنها یک پیشامد تصادفی محض است اگر چه ممکن است ( هرچند بعید ) که یک سکه سالم این نتیجه را بدهد یا اینکه تصور شما این خواهد بود که سکه سالم دچار اشکال می باشد.

 

?  نکات قابل توجه در محاسبات احتمال
 سختی محاسبات احتمال در تعیین تعداد پیشامدهای ممکن، شمارش رخدادهای هر پیشامد و شمارش تعداد کل پیشامدهای ممکن است. اشکال خاص در به دست آوردن نتایج معنی دار از احتمالات محاسبه شده است. یک معمای سرگرم کننده احتمال به نام مسئله Monty Hall به زیبایی چالش های موجود را نشان می دهد.
?  کاربرد های نظریه احتمال در زندگی روزمره
     یک تأثیر مهم نظریه احتمال در زندگی روزمره در ارزیابی ریسک پذیری و در تجارت در مورد خرید و فروش اجناس می باشد. حکومت ها به طور خاص روشهای احتمال را در تنظیم جوامع اعمال می کنند که به عنوان « آنالیز خط مشی » نامیده می شود و غالباً سطح رفاه را با استفاده از متدهایی که در طبیعت تصادفیند اندازه می گیرند و برنامه هایی را انتخاب می کنند تا اثر احتمال آن ها را روی جمعیت به صورت کلی از نظر آماری ارزیابی کنند. این گفته صحیح نیست که آمار، خود در مدل سازی درگیر هست زیرا که ارزیابی های میزان ریسک وابسته به زمان هستند و بنابراین مستلزم مـدل های احتمال قوی تر هستند؛ مثلاً  « احتمال9/11 دیگری »؛ قانون اعداد کوچک در جنین مواردی اعمال می شود و برداشت اثر چنین انتخاب هایی است که روش های آماری را به صورت یک موضوع سیاسی در می آورد.
 یک مثال خوب اثر احتمال قلمداد شده از مجادلات خاورمیانه بر روی قیمت نفت است که دارای اثرات متلاطمی از لحظ آماری روی اقتصاد کلی دارد. یک ارزیابی توسط یک واحد تجاری در مورد این که احتمال وقوع یک جنگ زیاد است یا کم باعث نوسان قیمت ها می شود و سایر تجار را برای انجام کار مشابه تشویق می کند. مطابق با این اصل، احتمالات به طور مستقل ارزیابی نمی شوند و ضرورتاً به طور منطقی برخورد صورت نمی گیرد. نظریه اعتبارات رفتاری، به وجود آمده است تا اثر این تفکرات گروهی را روی قیمت ها، سیاست ها و روی صلح و مجادله توضیح دهد.
 به طور استدلالی می توان گفت که کشف روش های جدی برای ارزیابی و ترکیب ارزیابی های احتمالی دارای اثر شدیدی روی جامعه مدرن داشته است. یک مثال خوب کاربرد نظریه بازی ها که به طور بنیادین بر پایه احتمال ریخته شده است در مورد جنگ سرد و دکترین انهدام با اطمینان بخشی متقابل است. مشابهاً ممکن است برای اغلب شهروندان دارای اهمیت باشد که بفهمند چگونه بخت ها و ارزیابی های احتمال صورت می گیرد و چگونه آن ها می توانند در تصمیم گیری ها به ویژه در زمینه دموکراسی دخالت کنند.
کاربرد مهم دیگر نظریه احتمال در زندگی روزمره، اعتبار است. اغلب تولیدات مصرفی مثل اتومبیل و وسایل الکترونیکی در طراحی آن ها از نظریه اعتبار استفاده می شود به نحوی که احتمال نقص آن ها کاهش یابد. احتمال نقص با مدت ضمانت فرآورده معمولاً ارتباط نزدیک دارد.

 

 

? رشته های اختصاصی
    بعضی علوم آن چنان به طور وسیع از آمار کاربردی استفاده می کنند که برای خود دارای اصطلاحات خاص شده اند. این رشته ها عبارتند از :
?  زیست آمار
?  آمار بازرگانی
?  داده کاوی ( کاربرد آمار و شناسایی الگوها برای کشف علم از داده ها )
?  آمار اقتصادی ( اقتصاد سنجی )
?  آمار مهندسی
?  فیزیک آماری
?  جمعیت شناسی
?  آمار روان شناسی
? آمار اجتماعی ( برای تمام علوم اجتماعی )
?  سواد آموزی آماری
?  آنالیز فرایند و شیمی سنجی ( برای تحلیل داده ها از شیمی تحلیلی و مهندسی شیمی)
?  مهندسی اعتبار
?  آمار در ورزش های گوناگون به ویژه بیسبال و کریکت
آمار یک ابزار پایه ای کلیدی در تجارت و تولید است و  برای درک تغییر پذیری سیستم های اندازه گیری، فرایند های کنترل ( مثلاً در کنترل آماری فرایند یا SPC )، برای خلاصه سازی داده ها و برای ساخت تصمیمات بر اساس داده ها مورد استفاده قرار می گیرد. در این نقش ها به آمار یک ابزار کلیدی و شاید تنها ابزار مورد اعتماد باشد.

 

? نرم افزار
?  آمار مدرن  برای انجام بعضی از محاسبات خیلی پیچیده و بزرگ به وسیله کامپیوترها استفاده می شود.
?  تمامی شاخه های آمار با استفاده از محاسبات کامپیوتری انجام پذیر شده اند، به عنوان مثال شبکه های عصبی.
?  انقلاب کامپیوتری  با یک توجه نو به آمار « آزمایشی » و « تجربی » رویکردهایی برای آینده آمار داشته است  .
 شبیه سازی نسخه ای از بعضی وسایل واقعی یا موقعیت های کاری است. شبیه سازی تلاش دارد تا بعضی جنبه های رفتاری یک سیستم فیزیکی یا انتزاعی را به وسیله رفتار سیستم دیگری نمایش دهد.
 شبیه سازی در بسیاری از متون شامل مدل سازی سیستم های طبیعی و سیستم های انسانی استفاده می شود. برای به دست آوردن بینش به کارکرد این سیستم ها و همچنین در تکنولوژی و مهندسی ایمنی که هدف، آزمون بعضی سناریوهای عملی در دنیای واقعی است از شبیه سازی استفاده می شود. در شبیه سازی با استفاده از یک شبیه ساز یا وسیله دیگری در یک موقعیت ساختگی می توان اثرات واقعی بعضی شرایط احتمالی را بازسازی کرد.
?  شبیه سازی فیزیکی و متقابل
ـ  شبیه سازی فیزیکی ، به شبیه سازی اطلاق می شود که در آن اشیای فیزیکی به جای شی حقیقی جایگزین می شوند و این اجسام فیزیکی اغلب به این خاطر استفاده می شوند که کوچکتر یا ارزان تر از شی یا سیستم واقعی هستند.
ـ   شبیه سازی متقابل که شکل خاصی از شبیه سازی فیزیکی است و غالباً به انسان در شبیه سازی های حلقه ای اطلاق می شود یعنی شبیه سازی های فیزیکی که شامل انسان می شوند مثل مدل استفاده شده در شبیه ساز پرواز.
? شبیه سازی در آموزش
  شبیه سازی اغلب در آموزش پرسنل شهری و نظامی استفاده می شود و معمولاً هنگامی رخ می دهد که استفاده از تجهیزات در دنیای واقعی از لحاظ هزینه کمرشکن یا بسیار خطرناک است تا بتوان به کارآموزان اجازه استفاده از آن ها را داد . در چنین موقعیت هایی کارآموزان وقت خود را با آموزش دروس ارزشمند در یک محیط مجازی « ایمن » می گذرانند. غالباً این اطمینان وجود دارد تا اجازه خطا را به کارآموزان در طی آموزش داد تا ارزیابی سیستم ایمنی– بحران صورت گیرد.
شبیه سازی های آموزشی به طور خاص در یکی از چهار گروه زیر قرار می گیرند :
ـ  شبیه سازی زنده ( جایی که افراد حقیقی از تجهیزات شبیه سازی شده ( یا آدمک ) در دنیای واقعی استفاده می کنند. )
ـ  شبیه سازی مجازی ( جایی که افراد حقیقی از تجهیزات شبیه سازی شده در دنیای شبیه سازی شده ( یا محیط مجازی ) استفاده می کنند. )  یا
ـ  شبیه سازی ساختاری ( جایی که افراد شبیه سازی شده از تجهیزات شبیه سازی شده در یک محیط شبیه سازی شده استفاده می کنند. ) شبیه سازی ساختاری اغلب به عنوان بازی جنگی نامیده می شود  زیرا که شباهتهایی با بازی های جنگی رومیزی دارد که در آن ها بازیکنان،  ارتش سربازان و تجهیزات را اطراف یک میز هدایت می کنند .
ـ  شبیه سازی ایفای نقش ( جایی که افراد حقیقی نقش یک شخصیت با کاری مجازی را بازی می کنند. )

 

? شبیه ساز های پزشکی
شبیه ساز های پزشکی به طور فزاینده ای در حال توسعه و کاربرد هستند تا روشهای درمانی و تشخیص و همچنین اصول پزشکی و تصمیم گیری به پرسنل بهداشتی آموزش داده شو د. طیف شبیه ساز ها برای آموزش روش ها از پایه مثل خونگیری تا جراحی لاپاراسکوپی و مراقبت از بیمار دچار ضربه، وسیع و گسترده است. بسیاری از شبیه ساز های پزشکی دارای یک کامپیوتر می باشند که به یک ماکت پلاستیکی با آناتومی مشابه واقعی متصل است. در سایر آنها، ترسیم های کامپیوتری، تمام اجزای قابل رؤیت را به دست می دهد و با دستکاری در دستگاه می توان جنبه های شبیه سازی شده کار ر ا تولید کرد. بعضی از این دستگاه ها دارای       شبیه سازهای گرافیکی کامپیوتری برای تصویر برداری هستند مثل اشعه ایکس یا سایر تصاویر پزشکی. بعضی از شبیه سازهای بیمار، دارای یک مانکن انسان نما هستند که به داروهای تزریق شده واکنش می دهد و می توان آن را برای خلق صحنه های مشابه اورژانس های خطرناک برنامه ریزی کرد. بعضی از شبیه ساز های پزشکی از طریق شبکه اینترنت قابل گسترش می باشند و با استفاده از جستجوگرهای استاندارد شبکه به تغییرات جواب می دهند. در حال حاضر، شبیه سازی ها به موارد غربال گری پایه محدود شده اند به نحوی که استفاده کنندگان از طریق وسایل امتیازدهی استاندارد با شبیه سازی در ارتباط هستند.

 

 

? شبیه ساز های پرواز

 یک شبیه ساز پرواز برای آموزش خلبانان روی زمین مورد استفاده قرار می گیرد. در این شبیه سازی، به خلبان اجازه داده می شود تا به هواپیمای شبیه سازی شده اش آسیب برساند بدون آن که خود دچار آسیب شود. شبیه سازهای پرواز اغلب برای آموزش خلبانان استفاه می شوند تا هواپیما را در موقعیت های بسیار خطرناک مثل زمین نشستن بدون داشتن موتور یا نقص کامل الکتریکی یا هیدرولیکی هدایت کنند. پیشرفته ترین شبیه سازها دارای سیستم بصری با کیفیت بالا و سیستم حرکت هیدرولیک هستند. کار با شبیه ساز به طور معمول نسبت به هواپیمای واقعی ارزان تر است.

? شبیه سازی و بازی ها
 بسیاری از بازی های ویدئویی نیز شبیه ساز هستند که به طور ارزان تر آماده سازی شده اند. بعضی اوقات از این ها به عنوان بازیهای شبیه سازی ( sim ) نامبرده می شود. چنین بازیهایی جنبه های گوناگون واقعی را شبیه سازی می کنند از اقتصاد گرفته تا وسایل هوانوردی مثل شبیه سازهای پرواز.

? شبیه سازی مهندسی
 شبیه سازی یک مشخصه مهم در سیستم های مهندسی است. به عنوان مثال در مهندسی برق، از خطوط تأخیری استفاده می شود تا تأخیر تشدید شده و شیفت فاز ناشی از خط انتقال واقعی را شبیه سازی کنند. مشابهاً، از بارهای ظاهری می توان برای شبیه سازی مقاومت بدون شبیه سازی تشدید استفاده کرد و از این حالت در مواقعی استفاده می شود که تشدید ناخواسته باشد. یک شبیه ساز ممکن است تنها چند تا از توابع و  عملکرد های واحد را شبیه سازی کند که  در مقابل با عملی است که تقلید نامیده می شود.
  اغلب شبیه سازی های مهندسی مستلزم مدل سازی ریاضی و بررسی های رایانه یار هستند. به هر حال موارد زیادی وجود دارد که مدل سازی ریاضی قابل اعتماد نمی باشد. شبیه سازی مشکلات مکانیک سیالات اغلب مستلزم شبیه سازی های ریاضی و نیز فیزیکی است. در این موارد، مدل های فیزیکی نیاز به شبیه سازی دینامیک دارند.

? شبیه سازی کامپیوتری
 شبیه سازی رایانه ای ، جزو مفیدی برای مدل سازی بسیاری از سیستم های طبیعی در فیزیک، شیمی و زیست شناسی و نیز برای سیستم های انسانی در اقتصاد و علوم اجتماعی ( جامعه شناسی محاسباتی ) و همچنین در مهندسی برای به دست آوردن بینش نسبت به عمل این سیستم ها شده است. یک نمونه خوب از سودمندی استفاده از رایانه ها در شبیه سازی را می توان در حیطه شبیه سازی ترافیک شبکه یافت. در چنین شبیه سازی هایی رفتار مدل هر شبیه سازی را مطابق با مجموعه پارامترهای اولیه منظور شده برای محیط تغییر خواهد داد. شبیه سازی های رایانه ای اغلب به این منظور به کار گرفته می شوند تا انسان از شبیه سازی های حلقه ای در امان باشد.
    به طور سنتی، مدل برداری رسمی سیستم ها از طریق یک مدل ریاضی بوده است به نحوی که تلاش در جهت یافتن راه حل تحلیلی برای مشکلات بوده است که پیش بینی رفتار سیستم را با استفاده از یک سری پارامترها و شرایط اولیه ممکن ساخته است. شبیه سازی رایانه ای اغلب به عنوان یک ضمیمه یا جانشین برای سیستم های مدل سازی می باشد که در آن ها راه حل های تحلیلی بسته ساده ممکن نمی باشد. انواع مختلفی از شبیه سازی رایانه ای وجود دارد که وجه مشترک همه آن ها در این است که تلاش می کند تا یک نمونه از سناریوهای نمایانگر برای یک مدل تولید کنند که در آن امکان محاسبه کامل تمام حالات ممکن مدل که مشکل یا غیر ممکن بوده وجود داشته باشد.
 به طور رو به افزونی معمول شده است که نام انواع مختلفی از شبیه سازی شنیده می شود که به عنوان   « محیط های صناعی » اطلاق می شوند. این عنوان اتخاذ شده است تا تعریف شبیه سازی عملاً به تمام دستاوردهای حاصل از کامپیوتر تعمیم داده شود

.
? شبیه سازی در علم کامپیوتر

  در برنامه نویسی کامپیوتر، یک شبیه ساز اغلب برای اجرای برنامه ای مورد استفاده قرار می گیرد که انجام آن برای کامپیوتر با مقداری دشواری همراه است. مثلاً، شبیه سازها معمولاً برای رفع عیب یک ریزبرنامه استفاده می شوند. از آن جایی که کار کامپیوتر شبیه سازی شده است، تمام اطلاعات در مورد کار کامپیوتر مستقیماً در دسترس برنامه دهنده است و سرعت و اجرای شبیه سازی را می توان تغییر داد.
شبیه سازها همچنین برای تفسیر درخت های عیب یا تست کردن طراحی های منطقی VLSI قبل از ساخت مورد استفاده قرار می گیرند. در علم نظری کامپیوتر، عبارت شبیه سازی نشان دهنده یک رابطه بین سیستم های انتقال وضعیت است که در مطالعه مفاهیم اجرایی سودمند می باشد.

? شبیه سازی در تعلیم و تربیت

 شبیه سازی ها در تعلیم و تربیت گاهی مثل شبیه سازی های آموزشی هستند. آن ها روی وظایف خاص متمرکز می شوند. در گذشته از ویدئو برای معلمین و دانش آموزان استفاده می شده تا مشاهده کنند، مسائل را حل کنند و نقش بازی کنند؛ هرچند یک استفاده جدید تر از شبیه سازی ها در تعلیم و تربیت شامل فیلم های انیمیشن است ( ANV ). ANV ها نوعی فیلم ویدئویی کارتون مانند با داستان های تخیلی یا واقعی هستند که برای آموزش و یادگیری کلاس استفاده می شوند.ANV ها برای ارزیابی آگاهی، مهارت های حل مسئله و نظم بچه ها و معلمین قبل و حین اشتغال کارایی دارند.
شکل دیگری از شبیه سازی در سال های اخیر با اقبال در آموزش تجارت مواجه شده است.  شبیه سازی های تجاری که یک مدل پویا را به کار می برند، آزمون استراتژی های تجارت را در محیط فاقد خطر مهیا می سازند و محیط مساعدی برای بررسی موردی مباحث ارائه می دهند.

منبع: آفتاب